Last December, I got to meet Daniel, aka Jarabe Del Sól, a poet from the Readnex Poetry Squad. He showed me in his notebook where he had written all sorts of arcane symbols and characters, perhaps from undiscovered alphabets. I got to fill up a few pages of his notebook with math symbolism off the top of my head, and then he proceeded to respond with a poetic response and free verse. This was a lot of fun, and a few days later, he sent me photos of what I had written. If you click on the photos below, you can see what Jarabe and I wrote, a math formula poetry slam! Play this track while you’re looking, for the full experience.
Category: LaVoz
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¡Juguemos Kenken!
(This column originally appeared in the July 2009 issue of La Voz, in Spanish.)
Welcome back to the puzzle column. This time we have two new kenken puzzles for you. The first one is a 4×4 kenken that uses only addition, and the second a 5×5 kenken made up entirely of multiplication.
For your convenience, we repeat the rules of kenken:
Similar to Sudoku, your task is to fill in the 4×4 grid using only the numbers 1, 2, 3 and 4 (and the 5×5 grid using only the numbers 1,2,3,5 and 5) in such a way that:
1. Each number appears only once per row.
2. Each number appears only once per column.
3. The numbers in each cage, when combined with the operation given, yield the target number.Since kenken means “wisdom squared” in Japanese, we know you’ll get a little smarter by successfully completing these puzzles!
Multiplying
The second kenken puzzle is entirely multiplication, which means that a good strategy to use is factorization. Look at the top middle cage, for example. We have to find three numbers whose product is 20. Multiplication has the amazing property that the order of the factors doesn’t matter, so listing the factors in non-decreasing order, there are four ways: 20 = 1×1×20 = 1×2×10 = 1×4×5 = 2×2×5. Of course we immediately eliminate the first two ways, since we are only allowed to fill in the grid with the numbers 1, 2, 3, 4 and 5.
Using factorization on the bottom right cage is even more effective: 25 = 1×1×25 = 1×5×5. The first factorization uses 25, which is too big. The second factorization has a repeated factor, which in combination with rules 1 and 2 above, allow us to conclude the unique way to fill in the cage.
Factorization leads to some amazing patterns. Consider the cage in the middle of the puzzle that prompts us to express 12 as the product of two numbers. The solutions are 12 = 1×12 = 2×6 = 3×4. The numbers that appear, 1, 2, 3, 4, 6 and 12, are called the divisors of 12. There is an amazing way to arrange the divisors of 12, shown below. Moreover, by counting 1 and the number 12 itself, 12 has 6 divisors.
This figure is called the divisor lattice of 12. Notice that moving up and to the right (northeast) is equivalent to multiplying by 3. Likewise, moving up and to the left is equivalent to multiplying by 2. From a tilted perspective, the divisors of 12 form a 2×3 grid.
Problem C: Draw the divisor lattices for the numbers from 1 to 20. What do 2, 3, 5 and 7 have in common? Can you draw the divisor lattice for 30? Is 1 a prime number? What other patterns do you notice?
Problem D: What is the smallest number with exactly 2009 divisors? (count 1 and the number as divisors).
If you enjoyed these puzzles, I’d love to hear from you. Please send in your solutions to any of the problems A, B, C or D as a comment.
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¡Juguemos Kenken!
(This column originally appeared in the June 2009 issue of La Voz)KenKen es un puzzle nuevo inventado por Tetsuya Miyamoto, un maestro de matemáticas del Japón. KenKen significa “sabiduría al cuadrado” y se lo presenta como una variante del Sudoku. Este mes les traigo dos juegos de KenKen de 4×4. Uno más fácil con sumas solamente, y otro con más operaciones. ¡Y unas preguntas extra para los amantes de los rompecabezas matemáticos!
¿Qué es un juego KenKen?Cada juego KenKen de 4×4 consiste en una grilla cuadrada de 4×4 dividida en grupos llamados jaulas o regiones. Las regiones vienen en diferentes tamaños: 1, 2, 3 y a veces 4 cuadrados. Cada región indica el número al que se debe llegar y una operación.Por ejemplo, acá hay una región hecha con dos cuadrados, con un “7+” chiquito escrito en un rincón. Esto quiere decir que el número al que se debe llega es el 7 y la operación es la suma.La tarea es llenar la grilla de 4×4 usando solamente los números 1, 2, 3 y 4, de tal manera que:Cada número aparezca sólo una vez por fila.Cada número aparezca sólo una vez por columna.Los números en cada región, al combinarse con la operación dada, den por resultado el número al que se debe llegar.Volviendo a nuestro ejemplo, vemos que hay exactamente dos maneras posibles de completar la región: 7 = 3 + 4 y 7 = 4 + 3 son las únicas posibilidades. La elección correcta dependerá de las primeras dos reglas, y las posibilidades para las otras regiones.A veces una región tiene un solo cuadrado. En ese caso, el número final es dado sin ninguna operación. Esto es un regalo gratis, y es una buena manera de comenzar a completar el rompecabezas.Esto es todo lo que necesitas para resolverlo, además de imprimir esta página para poder escribir, claro. ¡Así que a jugar KenKen!Problema AProblema BEl cuadrado latinoUn cuadrado de 4×4 completado con los números del 1 al 4 se llama cuadrado latino si satisface las dos condiciones de arriba. O sea, un cuadrado es latino si usa cada número sólo una vez en cada columna y en cada fila.Puedes construir tu propio juego de KenKen empezando por el final. Primero, completa una grilla de 4×4 con un cuadrado latino. Segundo, dibuja regiones dentro de la grilla y elije una operación para cada región. Puedes empezar con la suma, para hacerlo fácil, pero los juegos de KenKen también tienen resta, multiplicación y división.En cada región, combina los números con la operación que elegiste para determinar el número al que hay que llegar.Ahora que tienes la solución, borra los números del cuadrado latino original, y deja los resultados y la operación de cada región. Si tu puzzle tiene una solución única, ¡tienes un juego de KenKen!Problema D: Envíanos tu mejor puzzle de KenKen originalSi te gustó jugar al Kenken, envíanos tus soluciones a alguno de los problemas, A, B, C o D. Agradeceremos tu participación en futuros Blogs. -
My puzzle column in Spanish!
I’ve started a monthly column for La Voz, a wonderful Spanish language magazine focused on news and culture. La Voz intends to be a meeting place between the Spanish and English speaking communities in the mid-Hudson Valley, and I hope to throw mathematics into the mix!
My columns include a discussion of interesting math topics, and original KenKen puzzles. I welcome feedback, including solutions and ideas for future topics.Here’s a link to my latest article: September 2009You can find my older articles in the La Voz Archives.